Maturaarbeit: Simulation

Das Ziel meiner Maturaarbeit war die Anwendung mathematischer Verfahren der numerischen Mathematik und deren Umsetzung anhand eines Computerprogramms zu zeigen und zu erklären.

Im Verlauf dieser Arbeit habe ich die verschiedenen Anwendungsbereiche der Simulation aufgezeigt und bin näher auf die mathematischen Grundlagen der numerischen Simulation eingegangen. Zusätzlich zu meiner Maturaarbeit habe ich eine eigene Computersimulation zur Berechnung mechanischer Modelle in der Programmiersprache Java programmiert, welche ich MyMechSim genannt habe.

Warum dieses Maturaarbeit?

«Simulationen dienen 1. dem Versuch einer konsistenten Beschreibung verschiedener Einzelbefunde, 2. der Überprüfung der Eigenschaften von Hypothesen und 3. der Vorhersage von noch nicht untersuchten Eigenschaften des betrachteten Systems» (Spektrum Akademischer Verlag, 1999).

Computersimulationen spielen seit Mitte des 20. Jahrhunderts in der Wissenschaft eine immer grösser werdende Rolle. Auch wenn wir uns dessen nicht bewusst sind, begleiten uns Simulationen durch unserer ganzes Leben. So werden die Kolben neuer Automotoren zuerst am Computer simuliert, bevor sie in Produktion gehen und die Flügel eines Flugzeuges entstehen am Computer und werden in Simulationen auf ihre Funktion getestet.

Mathematik

Es ist anzumerken, dass ich zum Zeitpunkt, als ich diese Maturaarbeit geschrieben habe, die mathematischen Grundlagen noch nicht in der Schule behandelt habe. Daher musste ich sehr viel Zeit ins Aneignen des nötigen Wissens investieren. Die Mechanik hat sich mir durch diese Arbeit als höchst interessantes und teilweise überraschendes Gebiet offenbart. Es ist erstaunlich, welche komplexen Bewegungen sich aus einfachen Kraftgleichungen ergeben können.

Eine Simulation ist das numerische Lösen von Anfangswertproblemen, das heisst, das Lösen einer Differentialgleichung mit einer gegebenen Anfangsbedingung. Das Grundprinzip der mechanischen Simulation ist das 2. Newtonsche Gesetz bzw. die Grundgleichung der Mechanik.

$\LARGE F=a\cdot m$

Durch Umformen und Integrieren der obigen Gleichung erhält man eine Gleichung für die Geschwindigkeit, welche durch nochmaliges Integrieren zu einer Gleichung für die Position wird.

$\LARGE v(t)=\int_{}^{} a(t')\cdot dt$

$\LARGE s(t)=\int_{}^{} v(t')\cdot dt$

Da oft keine analytische Lösung dieses Problems existiert, muss man die Lösung durch numerisches Integrieren approximieren. Es existieren zahlreiche Methoden der numerischen Integration. Zu den bekanntesten zählen das explizite Euler-Verfahren (auch Euler-Cauchy-Verfahren), das Heun-Verfahren und das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RGK 4. Ordnung)
Man kann zwischen Einschritt- und Mehrschrittverfahren unterscheiden. Die in meiner Maturaarbeit betrachteten Verfahren zählen alle zu den Einschrittverfahren.

Computerprogramm

MyMechSim

Wie bereits erwähnt, diente als Programmiersprache Java von Oracle und die opensource Entwicklungsumgebung Eclipse der Eclipse Foundation. Das Programm entstand in mehr als 80 Stunden Arbeit und besteht aus über 5’000 Zeilen Code. Zusätzlich wurde eine Benutzeranleitung erstellt.

MyMechSim besteht aus vier grundlegenden Bausteinen bestehend aus Steuerung, Berechnung, Anzeige in der Tabelle und Anzeige im Graphen. Jeder dieser Bausteine ist in einem eigenen Thread realisiert, welche parallel zu einander ausgeführt werden. Der Grund für diese Aufteilung liegt im Geschwindigkeitsunterschied der einzelnen Bereiche. Es ist möglich, dass die Berechnung der Daten viel schneller erfolgt, als dass die Darstellung diese verarbeiten und visualisieren kann oder genau umgekehrt. Durch eine Aufteilung in diese vier Bereiche wird einerseits die Rechenzeit verkürzt und andererseits “friert” das Programm während der Berechnung nicht ein und kann daher immer noch auf Benutzereingaben reagieren.

Hinweise und mögliche Probleme

Dinge die ihr beim Schreiben einer Maturaarbeit beachten solltet:

Ihr könnt nicht früh genug damit anfangen, eine Liste mit interessanten Themen zu erstellen.
Nimmt euch nicht zu viel vor oder plant so, damit ihr wenn nötig die Maturaarbeit verkürzen könnt, falls die Zeit knapp wird.
Lasst euch von anderen helfen!
Plant gut und haltet euch auch daran.
Redet mit euerem Betreuer! Es ist wichtig, zu wissen, was er von euch erwartet und was ihr selber wollt, damit es keine Missverständnisse gibt.
Das wichtigste: Habt Spass an euerer Maturaarbeit!

Lasst euch nicht von Rückschlägen demotivieren. Sie sind ein Teil eurer Maturaarbeit und genau so interessant wie Erfolge. Es ist nur wichtig, dass ihr alles gut voraus plant und dokumentiert.

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